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正多面体の性質について調べる前に、全ての多面体について成り立つオイラーの定理について述べます。いま、多面体の面の数をＭ、辺の数をＨ、頂点の数をＴとします。ここに、辺というのは隣り合うふたつの面の交わる直線、頂点は辺が交わる点のことです。Ｍ、Ｈ、Ｔの間の次の式がオイラーの定理です。
Ｍ−Ｈ＋Ｔ＝２ （１）
言い換えれば、辺の数は、面の数と、頂点の数を足した数より２だけ少ないということです。これは、どんな多角形についても成り立っています。
正多面体ではすべての面が合同な正多角形で、それぞれの頂点に集まる面の数は同じです。いま、正多面体の面がｍ角形で、頂点にｔ枚の面が集まるとすると、
Ｈ＝ｍ・Ｍ／２＝ｔ・Ｔ／２ （２）
の関係があることがわかります。これは例えば、面の方で考えれば、ひとつの面の回りに辺はｍあります。面の数はＭなので、かけ算するとｍ・Ｍですが、辺はふたつの面で共有されていますので２倍だけ数えすぎになっています。そこで２で割れば良いということです。
オイラーの定理、（１）式を、（２）式を使って書き直すと次の式が得られます。
（２／ｍ−１＋２／ｔ）Ｈ＝２
さらに変形すると、
｛４−（ｍ−２）（ｔ−２）｝Ｈ／（ｍｔ）＝２
ここで、（ｍ−２）（ｔ−２）は４以上になることはないことがわかります。また、０以下になることもありません。そこで、ｍとｔの取りうる値のすべての可能性をまとめると表２−１のようになります。ここでは、（１）式、（２）式も使って、Ｍ、Ｈ、Ｔの値も掲げてあります。
さて以上で、正多面体には五種類しか無いこと、正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体はそれぞれ互いに面の数と頂点の数が入れ替わっていて、辺の数は等しいことなどがわかりました。つぎにそれぞれの正多面体についてもう少し性質を述べることにします。
写真１
４つの正三角形から構成されます。頂点の数も４つです。以下に述べる値を求めるためには少し計算が必要ですが、ここでは結果だけを列挙することにします。
写真2
６つの正方形から構成され、頂点の数は８つです。
写真3
８つの正三角形から構成され、頂点の数は６つです。
写真4
１２個の正五角形から構成され、頂点の数は２０です。
図２−４−１
そこで、まず、コンパスで半径ｒの円を書いて、次に円周上にコンパスで長さａの辺を取っていけば良いわけです。実際にたくさんの正五角形を作る場合にはこの方法が便利です。
ところで、正五角形の対角線には面白い性質があります。図２−４−２に示すように正五角形ＡＢＣＤＥを考えます。対角線ＢＥが対角線ＡＤで切られる時の長さの比、つまり、線分ＢＦとＦＥの長さの比は黄金分割（Ｇｏｌｄｅｎ ｃｕｔ）と呼ばれる比率になっています。すなわち、切られる前の線分ＢＥの長さに対するＢＦの長さの比が、ＢＦの長さに対するＦＥの長さの比と等しくなっています。これは、三角形ＡＣＤと三角形ＤＥＦが相似であることから理解されます。いま、正五角形の一辺の長さを１として、対角線の長さをｘとすると、
１／ｘ＝（ｘ−１）／１
の関係があります。従って、
ｘ2−ｘ−１＝０
ｘ＝（１＋ＳＱＲ（５））／２＝１．６１８０３・・・
となります。
図２−４−２
以上のことを利用すれば、ｓｉｎ（２π／１０）を計算しなくても正五角形を作図することができます。図２−４−３に示すように、まず、長さ１の底辺ＣＤを書き、底辺の真ん中に垂線を立てます。この垂線上に底辺から１の距離を取ります。これを点Ｇと呼ぶことにします。点ＣからＧを通る線を引きます。ＣＧの長さは、ＳＱＲ（５）／２ですから、ＣＧをさらに１／２だけ延長すれば対角線の長さが得られます。コンパスを使ってこの長さを半径とする円をＣを中心に書いて、垂線との交点を求めればこれが点Ａになります。点ＢとＥは、半径１の円を点Ａ、Ｃ、Ｄを中心に書くことで得られます。
図２−４−３
上のｘは黄金比（Ｇｏｌｄｅｎ ｒａｔｉｏ）と呼ばれて、ギリシャ文字φで表されます。実は、φはいろいろなところで現れることが知られています。例えば、０，１で始まって、次の数が前のふたつの和で与えられる数列（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列）、
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，・・・
で、隣り合う数の比を取ったものはφに近づいてゆきます。
同様のことは、最初にどんなふたつの数を持ってきても成り立つことが知られています。
（Ｌｕｃａｓシーケンスと呼ばれている。）例えば、
７，４，１１，１５．２６，４１，６７，１０８，１７５，・・・
この他、いろいろなところでφが現れるそうです。Ｏｐｔｉｃｓ ＆ Ｐｈｏｔｏｎｉｃｓ Ｎｅｗｓ（１９９３年８月号）には、「光学における黄金比」という記事が載っています。
写真5
２０の正三角形から構成され、頂点の数は１２です。